¿Como sacar la inversa de una matriz?

Definición de matriz: Es un arreglo rectangular de números denominados elementos, ordenados en renglones (horizontal) y columnas (vertical).

Definición de matriz identidad: La matriz identidad es una matriz cuadrada, por lo que debe tener el mismo número de renglones que de columnas. Además todos sus elementos deben ser cero a excepción de los elementos de la diagonal principal que deben ser uno. Para entender mejor lo anterior veamos los siguientes ejemplos.

Definición de matriz ampliada: Una matriz ampliada es la agrupación de dos matrices en una sola bajo ciertas condiciones, separadas mediante una línea continua o punteada.

Definición de matriz inversa: En este momento no he encontrado una definición exacta de matriz inversa, a mi parecer no es necesaria para sacar la inversa de una matriz. Una matriz tiene inversa si es cuadrada y se representa por A^-1.

Rango de una matriz: Se refiere al número de renglones con al menos un elemento distinto de 0 de una matriz escalonada. Se representa por R(A).

Proceso a seguir para encontrar la inversa de una matriz.
A continuación analizaremos el proceso realizado para sacar la inversa de la siguiente matriz. Si la matriz es cuadrada tiene inversa, en caso contrario no tiene.

Paso 1.- Agrupamos la matriz A con una matriz identidad I del mismo número de renglones y columnas, es decir sacamos la matriz ampliada (A,I).

Paso 2.- Ahora saquemos la matriz escalonada de la matriz ampliada (A,I) del paso 1. En este paso determinaremos si una matriz tiene o no inversa. ¿Cómo sacar una matriz escalonada?

Para determinar si una matriz tiene o no inversa, procedemos a observar la matriz izquierda de la matriz escalonada, si el número de renglones (m) y columnas (n) es el mismo, entonces la matriz tiene inversa, caso contrario nos indica que no tiene. Es decir m=n=R(A), donde R(A) es el rango de la matriz escalonada. En el caso anterior podemos observar que m=n=R(A), por lo tanto si tiene matriz inversa.

Paso 3.- En este paso sacaremos la matriz inversa, para ello debemos hacer que la matriz izquierda de la matriz escalonada del paso 2 se vuelva una matriz identidad, como lo vemos a continuación.